Игорь Моляков родился 29 января 1961 года в Ленинграде. Русский. С 1978 по 1986 годы – студент, затем аспирант философского факультета Ленинградского государственного университета им. А.А. Жданова. С 1986 года работал ассистентом, старшим преподавателем, доцентом кафедры философии естественных и технических факультетов Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова. В настоящее время является заместителем директора Чувашского Республиканского общественного фонда "Аталану". С 1994 года депутат Государственного Совета Чувашской Республики.

5 февраля 2020 года получил мандат депутата Госдумы Федерального Собрания РФ седьмого созыва, ставший вакантным после назначения депутата Олега Николаева врио губернатора Чувашской Республики.

Имеет двоих сыновей.